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名もなき定理

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2015年 2月18日(水)21時19分31秒
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  定理
直角三角形ABCの内接円が斜辺ABと接する点をDとすると、△ABCの面積Sは、
S=AD・BDで表される。(念のため、オリジナルではありません。)

証明
内接円の半径をrと置くと、

AB=AD+BD=(AC-r)+(BC-r)=AC+BC-2r

よって、三平方の定理を使うと、

(AC+BC-2r)^2=AC^2+BC^2

∴AC^2+BC^2+4r^2+2AC・BC-4rBC-4rAC=AC^2+BC^2

∴4r^2-4rBC-4rAC+2AC・BC=0

∴r^2-rBC-rAC+AC・BC/2=0

∴r^2-(BC+AC)r+AC・BC=AC・BC/2

∴(AC-r)(BC-r)=AC・BC/2

∴AD・BD=△ABC

∴S=AD・BD     Q.E.D.







 
 
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