teacup. [ 掲示板 ] [ 掲示板作成 ] [ 有料掲示板 ] [ ブログ ]

 投稿者
  題名
  内容 入力補助 youtubeの<IFRAME>タグが利用可能です。(詳細)
    
 URL
[ ケータイで使う ] [ BBSティッカー ] [ 書込み通知 ]


問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2018年 9月26日(水)22時20分36秒
  問題
ピタゴラス数は、(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(16,63,65),(20,21,29),・・・・のように、a^2+b^2=c^2のa,bのどちらか一方は4の倍数となっている。これを証明するか反例を挙げよ。

余裕がある人は2通り作って下さい。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=FIeX56WYszE
 
 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2018年 9月26日(水)18時51分39秒
編集済
  問題
ピタゴラス数は、(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(16,63,65),(20,21,29),・・・・のように、a^2+b^2=c^2のa,bのどちらか一方は3の倍数となっている。これを証明するか反例を挙げよ。

解答
a,bが共に3の倍数ではなく成り立つとすると、次の9通りが考えられる。

(3m+1)^2+(3n+1)^2=(3l)^2―――①
(3m+1)^2+(3n+1)^2=(3l+1)^2―――②
(3m+1)^2+(3n+1)^2=(3l+2)^2―――③
(3m+1)^2+(3n+2)^2=(3l)^2―――④
(3m+1)^2+(3n+2)^2=(3l+1)^2―――⑤
(3m+1)^2+(3n+2)^2=(3l+2)^2―――⑥
(3m+2)^2+(3n+2)^2=(3l)^2―――⑦
(3m+2)^2+(3n+2)^2=(3l+1)^2―――⑧
(3m+2)^2+(3n+2)^2=(3l+2)^2―――⑨

①より、9m^2+6m+1+9n^2+6n+1=9l^2 ∴9l^2-9m^2-9n^2-6n-6m=2 ∴3l^2-3m^2-3n^2-2n-2m=2/3

この式を満たす自然数l,m,nは存在しない。以下、②~⑨の式も同様に自然数l,m,nは存在しない。(定数項に着目すれば簡単に見分けられます。)

一方、a,bのどちらかを3の倍数とすると、
(3m)^2+(3n+1)^2=(3l+1)^2―――⑩
(3m)^2+(3n+1)^2=(3l+2)^2―――⑪
(3m)^2+(3n+2)^2=(3l+1)^2―――⑫
(3m)^2+(3n+2)^2=(3l+2)^2―――⑬

⑩,⑬は定数項を見れば、成り立つのは自明。そこで、⑪を調べると、9m^2+9n^2+6n+1=9l^2+12l+4 ∴9m^2+9n^2-9l^2+6n-12l=3

∴3m^2+3n^2-3l^2+2n-4l=1 この式を満たす自然数l,m,nは存在するので(⑫も同様)、a^2+b^2=c^2となる自然数a,b,cのうち、a,bのどちらか一方は必ず3の倍数である。

因みに、上の式は、例えば、m=21,n=5,l=21で成り立つ。(証明だけだったら前半だけで十分ですが、それでは面白くないので付け加えてみました。エレガントな証明は合同式を使って下さい。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=EbsuPCb1OBw
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2018年 9月26日(水)13時35分54秒
  S;16 x^6 y^2-32 x^6 y z+16 x^6 z^2-8 x^5 y-8 x^5 z+48 x^4 y^3
-48 x^4 y^2 z-48 x^4 y z^2+48 x^4 z^3+x^4+16 x^3 y^5
-56 x^3 y^4 z+40 x^3 y^3 z^2+40 x^3 y^2 z^3-40 x^3 y^2
-56 x^3 y z^4-8 x^3 y z+16 x^3 z^5-40 x^3 z^2-8 x^2 y^4
+130 x^2 y^3 z-228 x^2 y^2 z^2+130 x^2 y z^3+11 x^2 y
-8 x^2 z^4+11 x^2 z+36 x y^5 z-216 x y^4 z^2+360 x y^3 z^3
+x y^3-216 x y^2 z^4-45 x y^2 z+36 x y z^5-45 x y z^2
+x z^3-x-27 y^6 z^2+108 y^5 z^3-162 y^4 z^4-y^4 z
+108 y^3 z^5+33 y^3 z^2-27 y^2 z^6+33 y^2 z^3-y z^4+y z=0

      低次ねェ-と 侮るヒトはゐないでせうが
  代数曲面 S の 双対曲面 S^★ ; f^★(x,y,z)=0    を
               ●多様な発想で 必ず● 求めて下さい;

          f^★(x,y,z)は (笑)學生にも 簡単ですか?


  c の双対曲線c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
      https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
         ■■■ 受講者諸氏 に 倣い  ■■■
    #MeToo(ハッシュタグ    ミートゥー)
    と   宣言し  射影化し 求めて下さい;
        「#We Too」  運動を提唱し。


       不定方程式(Équation diophantienne)f^★(x,y,z)=0
                を 解いて 下さい;

   ◎  f^★(x,m,n)=0   の 解が 整数となる 整数 (m,n) を求めよ;
    (東京医科歯科大学Tokyo Medical and Dental University ; TMDU 出題)

     不定方程式(Équation diophantienne)f(x,y,z)=0
                を 解いて 下さい;
            
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2018年 9月26日(水)08時26分30秒
  a (n) = 4^(2*n - 1) + 3^(n + 1) (n∈N)  は  13の倍数である[ 信州大 ]
  ことを a(n)が満たす ■漸化式をつくることにより■ 証明願います。
     [[定数係数●2階線形同次差分方程式をつくり!]]
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1197994831

a (n) = 10^n - (-1)^n (n∈N)は11の倍数である[2001 津田塾大學]
ことを a(n) が満たす ■漸化式をつくることにより■ 証明願います。
        [[定数係数●2階線形同次差分方程式をつくり!]]

http://eman-physics.net/math/differential09.html

 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2018年 9月26日(水)07時54分46秒
編集済
  問題
ピタゴラス数は、(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(16,63,65),(20,21,29),・・・・のように、a^2+b^2=c^2のa,bのどちらか一方は3の倍数となっている。これを証明するか反例を挙げよ。

念のため、私のオリジナルではありません。(改題)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=7VKu0G6uqBI
 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2018年 9月25日(火)23時43分51秒
  a (n) = 10^n - (-1)^n (n∈N)は11の倍数である[2001 津田塾大學]
ことを a(n) が満たす ■漸化式をつくることにより■ 証明願います。



 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2018年 9月25日(火)23時19分58秒
  a (n) = 4^(2*n - 1) + 3^(n + 1) (n∈N)  は  13の倍数である[信州大]
ことを a(n)が満たす ■漸化式をつくることにより■ 証明願います。

 

(無題)

 投稿者:  投稿日:2018年 9月25日(火)22時23分49秒
  c;25947 x^6+2232 x^4 y+52886 x^3 y^3-1706 x^3-6712 x^2 y^2
     -2232 x y^4+72 x y+25947 y^6+1706 y^3+27=0

      (1)    cの特異点達を求めて下さい;

(2) c の双対曲線 c^★  を 多様な発想で■是非求めて下さい;

  c の双対曲線c^★を 射影化し 求める人々がゐた;
      https://www.youtube.com/watch?v=lGc_9UlFm-M
         ■■■ 受講者諸氏 に 倣い  ■■■
    #MeToo(ハッシュタグ    ミートゥー)
    と   宣言し  射影化し 求めて下さい;
        「#We Too」  運動を提唱し。



(3)   c^★ と ■無限遠点で 接している 超平面 T ■ を求め
        c^★ と 共に図示して下さい



 (4) c^★ には 変曲点 が 在る と  少女 ナオミ.

              変曲点 達 を モトメテ
        其の点に於ける接線をモトメテ 下さい;


 (5) 不定方程式(Diophantine equation) f^★(x,y)=0を解いて下さい;
    c^★∩Z^2=

                     ↑↓ 酷似かも

   >    Solve in integers x and y the equation x^3-y^3=2xy+8

https://artofproblemsolving.com/community/c6h84692
           あなたなら ドースル
     かの 解答を お願い致します;
https://www.youtube.com/watch?v=PQpWRrkrfz0

 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2018年 9月25日(火)18時23分15秒
  問題
ピタゴラス数の斜辺の長さ(数)は、(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(16,63,65),(20,21,29),・・・・のように、5の倍数か素数となっている。これを証明するか反例を挙げよ。

解法1
ピタゴラス数の定理 m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m>n自然数)で調べるのはちょっと大変なので、これhttps://9010.teacup.com/1942may/bbs/12937を利用する。

       2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(nは自然数)
n=1の時、   3     4       5
n=2の時、   5    12      13
n=3の時、   7    24      25
n=4の時、   9    40      41
n=5の時、  11    60      61
n=6の時、  13    84      85
n=7の時、  15   112     113
n=8の時、  17   144     145
n=9の時、  19   180     181
n=10の時、 21   220     221

221=13×17より素数ではない。

解法2
何でもありで、この表http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/py_num/py_num.htmのcの欄を見ていくと、

169に目が留まる。つまり、119,120,169の場合。169=13^2より素数ではない。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=I468r_puckA
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2018年 9月25日(火)07時51分6秒
  問題
ピタゴラス数の斜辺の長さ(数)は、(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(16,63,65),(20,21,29),・・・・のように、5の倍数か素数となっている。これを証明するか反例を挙げよ。

つまらない、オリジナル問題です。皆さんも適当に問題を作ってみて下さい。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=a-zcZPFMvyI

https://www.youtube.com/watch?v=YbMul6Ltruw
 

レンタル掲示板
/862