数の不思議世界

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問題

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 7日(土)22時41分34秒

問題ｘ＞０の時、ｘ^2＝９ｘ＋３６０を解くと、ｘ＝□となる。これを利用して、ｘ＞３の時、(ｘ^2－４ｘ－１２)^2＝９ｘ^2－３６ｘ＋２５２を解くとｘ＝□となる。（海城高）一応、中学生の範囲で別解を作ってみて下さい。ただし、点数は貰えないと思いますが。念のため、因数定理や組立除法は高校の範囲です。おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=Vk_AuM6ozks

問題半径１の円に内接する正十角形ＡＢＤＥＦＧＨＩＪがある。（１）ＡＢ^2＋ＢＥ^2＋ＥＩ^2＋ＩＡ^2の値を求めよ。（２）この正十角形の１０個の頂点から異なる２点を選んで結び、線分を作る。そのような線分の長さの平方を全て考える時、それらの平均の値を求めよ。（開成高）解答（１）十角形の内角の和は、公式より、１８０°×(１０－２)＝１８０°×８＝１４４０°　よって、１つの内角は１４４° つまり、辺８個分の弧に対する円周角が１４４°より、辺１個分の弧に対する円周角は、１４４÷８＝１８°　よって、辺５個分の弧に対する円周角は９０°となる。そこで、ＡＢ＝ＩＪより、ＡＢ^2＋ＥＩ^2をＩＪ^2＋ＥＩ^2に換える。また、ＡＩ＝ＢＪより、ＢＥ^2＋ＩＡ^2をＢＥ^2＋ＢＪ^2に換える。すると、ＡＢ^2＋ＢＥ^2＋ＥＩ^2＋ＩＡ^2＝ＩＪ^2＋ＥＩ^2＋ＢＥ^2＋ＢＪ^2＝ＥＪ^2＋ＥＪ^2＝２ＥＪ^2（∠ＥＩＪ＝９０°，∠ＥＢＪ＝９０°より）＝２×２^2＝８　よって、答えは、８（２）ＡＢと同じ長さの辺は１０個　　　ＡＣと同じ長さの辺は１０個　　　ＡＤと同じ長さの辺は１０個　　　ＡＥと同じ長さの辺は１０個　　　ＡＦと同じ長さの辺は１０個 ∴平均値＝(ＡＢ^2×１０＋ＡＣ^2×１０＋ＡＤ^2×１０＋ＡＥ^2×１０＋ＡＦ^2×５)/(１０＋１０＋１０＋１０＋５) ＝{１０(ＡＢ^2＋ＡＣ^2＋ＡＤ^2＋ＡＥ^2)＋５ＡＦ^2}/４５＝{２(ＡＢ^2＋ＩＡ^2＋ＢＥ^2＋ＥＩ^2)＋ＡＦ^2}/９＝(２×８＋４)/９＝２０/９　よって、答えは、２０/９念のため、分母の１０＋１０＋１０＋１０＋５の所は、10Ｃ2＝(１０×９)/(２×１)＝４５としても当然良い。おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=XFR3SmpwXNA https://www.youtube.com/watch?v=004UFLdIxaE

問題

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 7日(土)07時58分9秒

問題半径１の円に内接する正十角形ＡＢＤＥＦＧＨＩＪがある。（１）ＡＢ^2＋ＢＥ^2＋ＥＩ^2＋ＩＡ^2の値を求めよ。（２）この正十角形の１０個の頂点から異なる２点を選んで結び、線分を作る。そのような線分の長さの平方を全て考える時、それらの平均の値を求めよ。（開成高）これは難しいですね。（２）は（１）の結果を利用します。つまり、いきなり（２）を問う問題にすれば相当な難問だと思います。「大阪府泉大津市の公立中学校から灘高等学校に進学する。高校時代は『大学への数学』誌の学力コンテストで3期連続全国1位を記録した。1987年3月に同校を卒業し、同年4月、東京大学理科三類に入学。だが「先が見えてしまう。死んでいくだけだ」「死を超えるにはどうしたらいいのか」と思い悩んでいた。そんな中1992年6月、東京大学医学部医学科6年在学中、高校から大学を通じての友人石川公一の影響によってオウム真理教に入信する。」引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/富永昌宏おまけ：http://occult-atoaji.sakura.ne.jp/?p=8415 https://www.instagram.com/p/B5sEjJynFbf/ https://www.instagram.com/p/B5uufcFnq_M/

解法２

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 6日(金)19時29分27秒

問題直径ＡＢの半円Ｏの円周上に点ＰとＱがあり、∠ＰＯＡ＝２８°，∠ＱＯＢ＝６８°である。直径ＡＢ上に点ＲをＰＲ＋ＲＱの長さが最小になるように取る時、∠ＰＲＱの大きさを求めよ。（城北高）解法２折れ線の長さの最小値問題には定石があって、ＡＢに関して点Ｐと対称な点Ｐ'を取ると、ＰＲ＝Ｐ'Ｒより、ＰＲ＋ＲＱ＝Ｐ'Ｒ＋ＲＱとなり、これが最小になるのはＰ'ＲＱが一直線になる時である。また、Ｐ'は円Ｏの円周上にある。ここで、真円を描いて点Ｐ'を取りＰ'Ｑを結ぶ。ところで、∠ＰＯＱ＝１８０°－６８°－２８°＝８４°　今、ＰＱ，Ｐ'Ｏを結んで、∠ＰＯＡ＝Ｐ'ＯＡ＝〇と置くと、円周角と中心角の関係より、∠ＰＱＰ'＝(１/２)∠ＰＯＰ'＝〇　∴∠ＰＱＲ＝∠ＰＯＲ　よって、円周角の定理の逆により、４点Ｐ，Ｒ，Ｏ，Ｑは同一円周上にある。よって、円周角より、∠ＰＲＱ＝∠ＰＯＱ＝８４°　よって、答えは、８４° おまけ：https://www.instagram.com/p/B5ugYp8HoNp/ https://www.instagram.com/p/B5uf0rZD_Nl/

解答

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 6日(金)07時56分29秒

問題直径ＡＢの半円Ｏの円周上に点ＰとＱがあり、∠ＰＯＡ＝２８°，∠ＱＯＢ＝６８°である。直径ＡＢ上に点ＲをＰＲ＋ＲＱの長さが最小になるように取る時、∠ＰＲＱの大きさを求めよ。（城北高）解法１折れ線の長さの最小値問題には定石があって、ＡＢに関して点Ｐと対称な点Ｐ'を取ると、ＰＲ＝Ｐ'Ｒより、ＰＲ＋ＲＱ＝Ｐ'Ｒ＋ＲＱとなり、これが最小になるのはＰ'ＲＱが一直線になる時である。また、Ｐ'は円Ｏの円周上にある。ここで、真円を描いて点Ｐ'を取りＰ'Ｑを結ぶ。ところで、∠ＰＯＱ＝１８０°－６８°－２８°＝８４°　また、Ｐ'Ｑは直線より∠ＰＰ'Ｑは円周角で中心角の１/２。∴∠ＰＰ'Ｑ＝４２° また、対称性より△ＲＰＰ'は二等辺三角形になるので、内対角の和より、∠ＰＲＱ＝４２°×２＝８４°　よって、答えは、８４° おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=XWdk5Fo0CkE https://dogatch.jp/news/ex/67754/detail/

問題

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 5日(木)18時57分53秒

問題直径ＡＢの半円Ｏの円周上に点ＰとＱがあり、∠ＰＯＡ＝２８°，∠ＱＯＢ＝６８°である。直径ＡＢ上に点ＲをＰＲ＋ＲＱの長さが最小になるように取る時、∠ＰＲＱの大きさを求めよ。（城北高）ヒント：ＡＢに関して点Ｐと対称な点を取って下さい。余裕がある人は、ヒントを使った解法２を考えてみて下さい。おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=ULISfsGDgtg

解答２

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 5日(木)07時53分3秒

問題ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄを取り、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。この時、次の（１）～（３）が成り立つ事を証明せよ。（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ^2 （３）∠ＢＡＣ＝９０°の時、四角形ＡＢＣＤの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。（灘高）解答（１）△ＡＢＣは二等辺三角形より、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝〇と置くと、円周角より∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝〇となる。よって、２角が等しいので、△ＡＣＤ∽△ＡＥＣ，△ＡＥＣ∽△ＢＥＤ　∴△ＡＣＤ∽△ＢＥＤ（円周角から∠ＤＢＥ＝∠ＤＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＣ＝〇から２角が等しいと一発で示す事も出来ますが、色々な見方に慣れた方がいいと思います。） ∴ＡＤ：ＤＣ＝ＢＤ：ＤＥ　∴ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ（２）また、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＥＢ　∴ＡＢ：ＡＤ＝ＡＥ：ＡＢ　∴ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ^2 おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=UFWT8IzDlMI https://www.nikkansports.com/entertainment/news/201912040000747.html https://www.instagram.com/p/B5m54pMHO54/

解答

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 4日(水)07時56分52秒

問題ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄを取り、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。この時、次の（１）～（３）が成り立つ事を証明せよ。（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ^2 （３）∠ＢＡＣ＝９０°の時、四角形ＡＢＣＤの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。（灘高）（１），（２）が出来ないとしても、（３）は（１）と（２）の結果を利用すれば解けます。解答（３）∠ＢＡＣ＝９０°の時、四角形ＡＢＤＣは円に内接する四角形より∠ＢＤＣも９０°　∴四角形ＡＢＣＤ＝ＡＢ・ＡＣ/２＋ＢＤ・ＤＣ/２＝ＡＢ^2/２＋ＣＤ・ＤＢ/２―――☆　ところで、（１）より、ＣＤ・ＤＢ＝ＡＤ・ＤＥ―――①　（２）より、ＡＢ^2＝ＡＤ・ＡＥ―――② ①，②を☆に代入すると、四角形ＡＢＣＤ＝(ＡＤ・ＡＥ＋ＡＤ・ＤＥ)/２＝ＡＤ(ＡＥ＋ＤＥ)/２＝ＡＤ・ＡＤ/２＝ＡＤ^2/２よって、四角形ＡＢＣＤの面積は、ＡＤを対角線とする正方形の面積と等しい。よって、示された。（１），（２）も別にそんなに難しい訳ではないですが、次回。（相似は慣れが必要だと思います。三平方の定理は直角さえあれば試行錯誤出来ますが。）おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=-V1Ca9YwyMs https://www.instagram.com/p/B4jozTdHm_P/

問題

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 3日(火)20時50分55秒

問題ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄを取り、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。この時、次の（１）～（３）が成り立つ事を証明せよ。（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ^2 （３）∠ＢＡＣ＝９０°の時、四角形ＡＢＣＤの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。（灘高）（１），（２）が出来ないとしても、（３）は（１）と（２）の結果を利用すれば解けます。ただし、普通はあきらめちゃいますよね。おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=YRHvA5n4u6o https://joseiana.com/archives/4695/2

解答２

投稿者：中年A 投稿日：2019年12月 3日(火)18時35分12秒

問題ｎを５０以下の自然数とする時、（１）３^n－１が５の倍数となる最も大きいｎの値を求めよ。（２）３^2n＋２・３^n＋１１が１０の倍数となる時、３番目に小さいｎの値を求めよ。また、このようなｎの個数を求めよ。（立教新座高）解答（２）３^2n＋２・３^n＋１１＝(３^n)^2＋２・３^n＋１１　ここで、３^n＝Ｘと置くと、与式＝Ｘ^2＋２Ｘ＋１１＝(Ｘ＋１)^2＋１０ ∴与式＝(３^n＋１)^2＋１０　これが１０の倍数になるのは、３^n＋１が１０の倍数の時である。よって、３^n＋１の一の位が０の時で、つまり、３^nの一の位が９の時。３^nは、３，９，２７，８１，２４３，・・・・より、一の位は３，９，７，１を繰り返すので、ｎ＝２，６，１０，１４，・・・・の時。よって、３番目に小さいのは、ｎ＝１０また、ｎ＝２，６，１０，１４，・・・・のｎ≦５０の個数を調べれば良い訳だから、１≦４ｋ＋２≦５０と置いて、ｋ＝０からｋ＝１２より１３個。よって、答えは、ｎ＝１０，１３個高校生だったら、ｎ＝２，６，１０，１４，・・・・という数列をａn＝２＋４(ｎ－１)＝４ｎ－２≦５０として、４ｎ≦５２　∴ｎ≦１３ ∴１≦ｎ≦１３　よって、１３個と求める。おまけ：https://www.youtube.com/watch?v=RpGEjD3XP2s https://www.instagram.com/p/B0AojnxnbFR/

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