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ヒント

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月21日(水)07時54分41秒
  問題
https://www.su-gaku.net/events/koshien/sample/pdf/yosen_q2018.pdf

問17を解いてみて下さい。

ヒントなんか必要ないと思いますが、n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+(n+4)と置いて、これを因数分解して下さい。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=NEKhluij6ig
 
 

問題

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月20日(火)20時57分13秒
  問題
https://www.su-gaku.net/events/koshien/sample/pdf/yosen_q2018.pdf

問17を解いてみて下さい。因みに、解答のみはこちら。https://www.su-gaku.net/events/koshien/sample/pdf/yosen_ans2018.pdf

中3生でも挑戦できると思います。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=71zBxhNGPns
 

何でもありの解法6

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月20日(火)18時33分42秒
  問題
https://examist.jp/legendexam/2013-center/

ODの長さを中学生の解法で求めて下さい。

解法6
点Aをxy座標の原点に取り、D(a,b),P(3,1)と置くと、円Pの方程式は、(x-3)^2+(y-1)^2=1

よって、接線の公式https://fromhimuka.com/blog/2443.htmlより、直線ADの方程式は、(a-3)(x-3)+(b-1)(y-1)=1

これが原点を通るので、x=y=0を代入すると、-3(a-3)-(b-1)=1 ∴b=-3a+9―――①

また、AD=3より、√(a^2+b^2)=3 ∴a^2+b^2=9―――② ①を②に代入すると、a^2+9(a-3)^2=9 ∴10a^2-54a+72=0

∴5a^2-27a+36=0 ∴(5a-12)(a-3)=0 ∴a=12/5,3

a<3より、a=12/5 ∴b=-36/5+9=9/5 ∴D(12/5,9/5) ∴OD=√{(12/5-3)^2+(9/5)^2}=√{(-3/5)^2+(9/5)^2}

=√(90/25)=3√10/5 ∴OD=3√10/5

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=tKQ-RKpNSrA
 

れ:Re:n^2+1形式の素数

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2019年 8月20日(火)18時15分14秒
  中年A様、こんばんは。

難しいことはありません。それで正解です。
 

Re:n^2+1形式の素数

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月20日(火)16時58分40秒
  愛犬ベルのためにさん、こんにちは。

解答
x=1の場合、k=10a+1 W=4(10a+1)^2+1=4(100a^2+20a+1)+1=400a^2+80a+5 よって、5の倍数
x=4の場合、k=10a+4 W=4(10a+4)^2+1 展開公式を考えると1の位だけ調べれば良い。よって、4・4^2+1=65 よって、5の倍数
x=6の場合、k=10a+6 W=4(10a+6)^2+1 展開公式を考えると1の位だけ調べれば良い。よって、4・6^2+1=145 よって、5の倍数
x=9の場合、k=10a+9 W=4(10a+9)^2+1 展開公式を考えると1の位だけ調べれば良い。よって、4・9^2+1=325 よって、5の倍数

よって、示された。(合同式か何かを使った方が良かったでしょうか。)
 

n^2+1形式の素数

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2019年 8月20日(火)16時08分19秒
  n^2+1形式の素数候補Wにおいて、いま、nが奇数なら、n^2+1は偶数なので、nは偶数である。そこで、n=2kと置くとW=n^2+1=4k^2+1となる。
そこで、k=10a+x (ここで、xは0≦x<10)つまり、xは10進数の1桁目であるがx=1,4,6,9の時、Wは5の倍数になることを示せ。
 

中学生用の解法8

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月20日(火)07時56分53秒
  問題
https://examist.jp/legendexam/2013-center/

ODの長さを中学生の解法で求めて下さい。

解法8
点Aを直交座標の原点に取り、D(a,b),P(3,1)と置くと、PD=1より、√{(a-3)^2+(b-1)^2}=1 ∴(a-3)^2+(b-1)^2=1―――①

また、AD=3より、√(a^2+b^2)=3 ∴a^2+b^2=9―――②

②-①より、6a-9+2b-1=8 ∴2b=-6a+18 ∴b=-3a+9―――③ ③を②に代入すると、

a^2+9(a-3)^2=9 ∴10a^2-54a+72=0 ∴5a^2-27a+36=0 ∴(5a-12)(a-3)=0 ∴a=12/5,3

a<3より、a=12/5 ∴b=-36/5+9=9/5 ∴D(12/5,9/5) ∴OD=√{(12/5-3)^2+(9/5)^2}

=√{(-3/5)^2+(9/5)^2}=√(90/25)=3√10/5 ∴OD=3√10/5

因みに、AD⊥PDから、(b/a)・{(b-1)/(a-3)}=-1より、a(a-3)+b(b-1)=0として、a(a-3)+b(b-1)=0―――④

①,②,④のどの2つを連立させても求められます。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=9THBxB81eOU

https://www.youtube.com/watch?v=TubBmEl_Sac
 

しつこい風邪

 投稿者:はな子  投稿日:2019年 8月20日(火)07時17分57秒
  はな子、風邪の菌をばらまいて、
家族みんなにうつしてしまいました。
風邪薬は、PL顆粒とアストミンとムコソルバン
をのんでいます。
一般の風邪薬です。
それで、よくなってきました。
 

何でもありの解法5

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月19日(月)19時11分17秒
  問題
https://examist.jp/legendexam/2013-center/

ODの長さを求めて下さい。

解法5
点Aを位置ベクトルの基点に取ると、↑AD=(a,b),↑AP=(3,1)と置け、↑PD=↑AD-↑AP=(a-3,b-1)

また、PD=1より、|↑PD|=√{(a-3)^2+(b-1)^2}=1 ∴(a-3)^2+(b-1)^2=1―――①

また、AD=3より、|↑AD|=√(a^2+b^2)=3 ∴a^2+b^2=9―――②

②-①より、6a-9+2b-1=8 ∴2b=-6a+18 ∴b=-3a+9―――③ ③を②に代入すると、

a^2+9(a-3)^2=9 ∴10a^2-54a+72=0 ∴5a^2-27a+36=0 ∴(5a-12)(a-3)=0 ∴a=12/5,3

a<3より、a=12/5 ∴b=-36/5+9=9/5 ∴↑AD=(12/5,9/5) ∴↑OD=↑AD-↑AO=(12/5,9/5)-(3,0)

=(-3/5,9/5) ∴OD=|↑OD|=√{(-3/5)^2+(9/5)^2}=√(90/25)=3√10/5

∴OD=3√10/5

因みに、AD⊥PDから、↑AD・↑PD=(a,b)・(a-3,b-1)=a(a-3)+b(b-1)=0として、

a(a-3)+b(b-1)=0―――④ ①,②,④のどの2つを連立させても求められます。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=MK0EVPI1tUk

https://www.youtube.com/watch?v=oa1W9rjE0L0
 

「中学生用の解法7」の解答

 投稿者:中年A  投稿日:2019年 8月19日(月)07時55分18秒
  問題
https://examist.jp/legendexam/2013-center/

ODの長さを中学生の解法で求めて下さい。

解法7
AC上の点EからACに直交し、円Pに接する直線を引き、AOの延長との交点をF,接点をTとすると、

接線よりPD⊥AE,PT⊥EF よって、∠PDE=∠PTE=∠DET=90°で、半径よりPD=PTなので、

四角形EDPTは正方形である。∴ED=ET=PO=1 ∴AE=3+1=4 ここで、円と接線の関係より、FT=FO=xと置くと、

AF=x+3、EF=x+1 よって、△AEFで三平方の定理を使うと、4^2+(x+1)^2=(x+3)^2が成り立つ。

∴16+x^2+2x+1=x^2+6x+9 ∴4x=8 ∴x=2 ∴AF=5,EF=3 つまり、△AEFは3:4:5の直角三角形。

今、DからOAに垂線を下ろしその足をHとすると、2角が等しいので、△AHD∽△AEF よって、△AHDも3:4:5の直角三角形である。

∴DH=(3/5)×3=9/5 AH=(4/5)×3=12/5 ∴OH=3-12/5=3/5 よって、△ODHで三平方の定理を使うと、OD=√(81/25+9/25)

=√(90/25)=3√10/5 ∴OD=3√10/5

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=Xb_XBdMvuL0

https://www.youtube.com/watch?v=Z0xHTH7z7YU
 

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