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解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月28日(火)20時50分43秒
  問題
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)を因数分解せよ。

同じ方法でやってみて下さい。

解答
今、f(x)=(x-a)(b^2-c^2)+(x-b)(c^2-a^2)+(x-c)(a^2-b^2)という関数を考えると、

f'(x)=b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2=0 f'(x)=0という事はxの値に関わらずf(x)は定数という事である。

よって、特にx=aとすると、f(a)=0+(a-b)(c^2-a^2)+(a-c)(a^2-b^2)=(a-b)(c+a)(c-a)+(a-c)(a+b)(a-b)

=(a-b)(c-a){c+a-(a+b)}=(a-b)(c-a)(c-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)

∴f(a)=-(a-b)(b-c)(c-a)―――①

また、f(0)=-a(b^2-c^2)-b(c^2-a^2)-c(a^2-b^2)―――② ところで、f(x)はxの値に関わらずに一定より、f(a)=f(0)―――③

①,②,③より、-a(b^2-c^2)-b(c^2-a^2)-c(a^2-b^2)=-(a-b)(b-c)(c-a)

∴a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=s9jbI6Xab_w

https://www.youtube.com/watch?v=2QFWpLxuofo
 
 

Re^2:因数分解する(しない)

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月28日(火)20時11分46秒
  >さて、3 文字の対称式や交替式の有名な因数分解問題は他にも多数ありますが、同様の方法は取れるでしょうか?

問題
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)を因数分解せよ。

解答
今、f(x)=(x-a)^2(b-c)+(x-b)^2(c-a)+(x-c)^2(a-b)という関数を考えると、

f'(x)=2(x-a)(b-c)+2(x-b)(c-a)+2(x-c)(a-b)=2x(b-c)+2x(c-a)+2x(a-b)-2a(b-c)-2b(c-a)-2c(a-b)

=2x・0-2(ab-ac+bc-ab+ac-bc)=0

f'(x)=0という事はxの値に関わらずf(x)は定数という事である。よって、特にx=aとすると、

f(a)=0+(a-b)^2(c-a)+(a-c)^2(a-b)=(a-b)(c-a){(a-b)+(c-a)}=(a-b)(c-a)(-b+c)=-(a-b)(b-c)(c-a)

また、x=0とすると、f(0)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) ところで、xの値に関わらずf(x)の値は一定よりf(a)=f(0)

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)

問題
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)を因数分解せよ。

同じ方法でやってみて下さい。

因みに、DD++ さんの問題は2回微分をしなければならないので、わざと難しいものをチョイスしたと考えるとオリジナルではありませんね。(ただの感想です。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=j8HYfItpHuk
 

Re:因数分解する(しない)

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月28日(火)18時55分2秒
  愛犬ベルのためにさん、こんばんは。

>「ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) を因数分解せよ」

この問題の解き方の定石は、こちらhttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1415609264です。(a,b,cのどれでもいいから1つの2次式にまとめて攻略するという方法です。もちろん、もっと高次の時でも同様です。)

また、こちらhttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/9700598.htmlの解2)も見た事はありますが、似たような問題かもしれません。(記憶に残りますよね。)

ただし、こちらhttps://6626.teacup.com/shochandas/bbs/18710は驚きました。数学の長い歴史を感じますね。(この方のオリジナルだったらごめんなさい。)

面白い情報をありがとうございました。
 

因数分解する(しない)

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2021年 9月28日(火)17時12分39秒
編集済
  壊れた扉さん、こんばんは。

「出会いの泉」に、
https://6626.teacup.com/shochandas/bbs/18710
というのがありました。

そういうことが、できるのか・・・

ちょっと、ある課題に希望が・・・・・

もちろん、普通に、
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1415609264
でも、できるようです。

これの解2)はおもしろいですね。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9700598.html
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月28日(火)16時36分39秒
  問題
https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/699632e2b10443d3115d8e6fcfa8706d

算数で解いて下さい。算数なら結構面白い問題だと思います。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=c4Njlg4uQnI
 

別解

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月28日(火)07時53分39秒
  問題
https://hibiyastudy.hatenablog.com/entry/math/problems/36

(1)は別解ではありませんが、一応解いておきますね。

解答
(1)四角形ADECは円に内接する四角形より、∠DEB=∠DAC また、∠Bは共通より2角が等しいので、△ABC∽△EBD

そして、AB:EB=14:7=2:1より、AC=2ED=12cm,BC=2BD=16cm ∴EC=16-7=9cm

(2)別解
AD=DEより弧AD=弧DE ∴∠ACD=∠DCE よって、CDは∠Cの二等分線。よって、△CBAで角の二等分線の長さの公式を使うと、

CD=√(CA・CB-AD・BD)=√(12・16-6・8)=4√(12-3)=4・3=12cm よって、答えは、12cm

(3)別解
AE,CDを結ぶと、円周角と∠Bは共通の2角が等しいので、△ABE∽△CBD ∴12:8=AE:7 ∴AE=21/2cm

ここで、EOを結びその延長と円との交点をFとしAFを結ぶと、AFは直径より∠EAF=90°また、円周角より∠AFE=∠ACE

よって、AからECに垂線を下ろしその足をHとすると、2角が等しくなるので、△AEF∽△HACとなる。

そこで、AH=x,CH=yと置いて三平方の定理を使うと、x^2+y^2=12^2―――① x^2+(9-y)^2=(21/2)^2―――②が成り立つ。

①-②より、18y-81=144-441/4 ∴18y=225-441/4=900/4-441/4=459/4=3^3・17/4 ∴y=51/8

これを①に代入すると、x^2=144-(51/8)^2=6615/64 ∴x=21√15/8 ∴AH=21√15/8cm

よって、相似より、EF:AE=AC:AHに代入すると、2R:21/2=12:21√15/8 ∴(21√15/4)R=126

∴R=126・4/21√15=24/√15=24√15/15=8√15/5 よって、答えは、8√15/5cm

因みに、EOの延長と円との交点を作るなんて無理があると思う人は、OからAEに垂線を下ろしその足をIとし、△AHC∽△AIOでも解けます。

ただし、前者は定石で有名だと思いますが、後者は私のオリジナル(定石)です。(普通の定石の方が考える事が少なくて良いと思います。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=2-wCXrmfRkc

https://www.nikkansports.com/entertainment/news/202105040000708.html
 

ちゃちゃっと改造してみました

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月27日(月)22時12分49秒
  ただし、数学ではありません。

from sympy import Symbol,diff,solve
from sympy.plotting import plot
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
expr = x**2 + y**2 - 1
expr_y = solve(expr,y)
expr = 2*x*expr_y[1]
print('f(x) = {0}'.format(expr))

diff1 = diff(expr)
print('f’(x) = {0}'.format(diff1))
critical_points = solve(diff1)
for critical_point in critical_points:
    print('x = {0}のとき f(x) = {1}'.format(critical_point, expr.subs(x, critical_point)))
plot(expr,(x,0,1))

結果
f(x) = 2*x*sqrt(1 - x**2)
f’(x) = -2*x**2/sqrt(1 - x**2) + 2*sqrt(1 - x**2)
x = -sqrt(2)/2のとき f(x) = -1
x = sqrt(2)/2のとき f(x) = 1

意図した訳ではありませんが、綺麗になりましたね。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=v2BWOPVfTLE
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月27日(月)20時12分2秒
  問題
https://hibiyastudy.hatenablog.com/entry/math/problems/36

(2),(3)は別解を作ってみて下さい。ただし、中学生の範囲ならマニアックな公式を使っても良いとする。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=esHzYFsHAxc
 

別解

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月27日(月)07時53分34秒
  問題
https://www.njg.co.jp/post-18465/

Q2の別解を作って下さい。

別解
半円の中心にxy座標の原点を置き、直径をx軸に取ると、円の方程式よりx^2+y^2=1 ∴y^2=1-x^2 ∴y=±√(1-x^2)

よって、半円の方程式は、y=√(1-x^2) よって、長方形の面積をSと置くと、S=2x√(1-x^2)

よって、この関数の極大値を求めれば良い。∴S'=2√(1-x^2)+2x・(1/2)(1-x^2)^(-1/2)・(-2x)=2√(1-x^2)-2x^2/√(1-x^2)=0

∴2(1-x^2)-2x^2=0 ∴1-x^2-x^2=0 ∴2x^2=1 ∴x^2=1/2 ∴x=±1/√2=±√2/2

ところで、S>0よりx>0 よって、x>0で増減表を作ると、極大値はx=√2/2の時。これをy=√(1-x^2)に代入すると、

y=√(1/2)=√2/2 ∴x=y よって、第1象限の四角形は正方形である。よって、答えは、1辺が√2/2の正方形を左右に2つ並べた形の時。

一応、pythonでのプログラミング例も載せておきますね。

import sympy as sym
from sympy.plotting import plot
x = sym.Symbol('x')
expr = 2*x*(1-x**2)**0.5
print('f(x) = {0}'.format(expr))

diff1 = sym.diff(expr)
print('f’(x) = {0}'.format(diff1))
critical_points = sym.solve(diff1)
for critical_point in critical_points:
    print('x = {0}のとき f(x) = {1}'.format(critical_point, expr.subs(x, critical_point)))
plot(expr,(x,0,1))
アイデア引用元:https://thr3a.hatenablog.com/entry/20190916/1568571135

結果
f(x) = 2*x*(1 - x**2)**0.5
f’(x) = -2.0*x**2*(1 - x**2)**(-0.5) + 2*(1 - x**2)**0.5
x = -0.707106781186548のとき f(x) = -1.00000000000000
x = 0.707106781186548のとき f(x) = 1.00000000000000

因みに、私が独学している参考書「Pythonから始める数学入門」Amit Saha著では、微分はもうちょっと面倒臭い方法ですね。(p.199で私はまだp.121なので先取りして読んでみました。)

こちらのsympy.diff()の方が簡単でいいですね。https://note.nkmk.me/python-sympy-factorization-solve-equation/

pythonが出来る文系の人も頑張ってこの問題を解いて欲しいですね。極大値(極大点)の意味さえ分かれば微分はpythonがやってくれるのですから。(グラフだけなら微分も要りませんが、f(x)=1かどうか見た目では断定出来ません。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=7M2k6E7lMX4
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 9月26日(日)14時24分8秒
  問題
https://www.njg.co.jp/post-18465/

Q2の別解を作って下さい。それだけではあまりにもつまらないので、pythonで面積の(関数の)グラフと微分した式を出してみました。ただし、ネットで拾ってきたものを改造した程度ですが。でも、今までの知識で全部理解出来ました。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=ATVmKmdDacs
 

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