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何でもありの解法

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月13日(火)07時57分36秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=18153

解答
原価をx円,定価をxy円と置くと、条件より、0.8xy-x=0.2xが成り立つ。∴0.8xy=1.2x x≠0より、8y=12

∴y=3/2=1.5 よって、定価は原価の1.5倍より、50%増し。よって、50%増しにすれば良い。

問題
40人のクラスに同じ誕生日の人が3人以上いる確率を求めよ。

ただし、これもあまり自信がありません。数学があまり好きじゃない人でも検索してみると面白いかもしれません。

補足:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569140145/l50

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=Vw2jQqWhd40
 
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月12日(月)23時21分44秒
  問題
40人のうち2人1組として、少なくとも2組同じ誕生日の人がいる確率を求めよ。
アイデア引用元:https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11155042426

ただし、自信がないので間違っていたら指摘して下さい。因みに、ベストアンサーとは違います。(ベストアンサーの解答は、ほとんど0ですね。私の解答は約57%です。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=QoxFov0f_uU
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月12日(月)20時06分59秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=18153

一応、何でもありでも解いて下さい。因みに、算数では線分図は必須です。(軽い方程式代わりという所でしょうか。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=NAMtyZ9HOkc
 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月12日(月)07時46分48秒
  問題
n:自然数 k≦m
(x^0+x^1+x^2+…+x^m)^nを展開したとき、x^kの係数はn(n+k)!/(n+k)n!k!を証明して下さい。
引用元:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579791526/l50

解答
(x^0+x^1+x^2+…+x^m)(x^0+x^1+x^2+…+x^m)・・・・(x^0+x^1+x^2+…+x^m)(カッコの数はn個)

k≦mに注意すると、x^kの係数は、n個の各カッコから1つずつ選んで指数の和がkになるような場合の数と等しい。

よって、最初のカッコからX1,X2,・・・・,Xnと置くと、X1+X2+・・・・+Xn=kとなる0以上の整数の組み合わせが何通りあるかという事と等しい。

ここで、無限にボールが入っているn個の箱X1~Xnを考えると、これはn個の箱から重複を許してk個のボールを取り出す組み合わせの数と等しい。

よって、重複組み合わせの公式より、nHk=n+k-1Ck=(n+k-1)!/(n-1)!k!=n(n+k)!/(n+k)n!k!

よって、示された。

念のため、苦労しました。それにしても、この方、自分で作ったんですよね。証明が出来なかったのでしょうか。因みに、作る方が100倍凄いですね。(どうやって作ったか謎。)

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=yiSapd-b34A

https://imginn.com/p/CNhL9jsDn9e/?lang=ja
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月11日(日)23時17分57秒
  問題
n:自然数?k≦m
(x^0+x^1+x^2+…+x^m)^nを展開したとき、x^kの係数はn(n+k)!/(n+k)n!k!を証明して下さい。
引用元:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579791526/l50

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=JJBGbe1Sv48
 

別解

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月11日(日)20時03分18秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=17614

解答
∠Cが直角より、四角形DBCAが長方形となるような点Dを取ることが出来る。(△ABCと合同な△BADを向かい合わせに置く。)

ここで、CDを結びABとの交点をOとすると、長方形よりOA=OB=OC=OD よって、△OBCは二等辺三角形より、∠OBC=∠OCB=15°

よって、△OBCの内対角の和より、∠AOC=15°×2=30°また、OC=AB÷2=8÷2=4cm

今、CからOAに垂線を下ろしその足をHとすると、△COHは30°,60°,90°の直角三角定規型より、CH=OC÷2=4÷2=2cm

よって、△ABC=AB×CH÷2=8×2÷2=8cm^2 よって、答えは、8cm^2

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=MQGNGYlgOPI
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月11日(日)10時26分17秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=17614

算数の別解を作ってみて下さい。因みに、模範解答は見てすぐでした。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=UzrY_3KR0Eg
 

別解2

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月11日(日)07時57分6秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=17624

解答
△CADの内対角の和より、∠CAD=40°-20°=20°よって、∠CAD=∠CDAより△CADは二等辺三角形。

ここで、ADを1辺とした正三角形EADを頂点EがADに関して点C側に作ると、対称性より、∠CEA=60°÷2=30°

また、AD=AE さらに、条件よりAD=BC よって、BC=EA ところで、∠CAE=60°-20°=40°,∠ACB=40°より、

∠ACB=∠CAE よって、ACは共通を考えると、二辺挟角が等しいので、△ABCと△AECは合同。よって、∠ABC=∠CEA=30°

よって、∠x=30°

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=wBMZtZg_QM8

https://www.yomiuri.co.jp/olympic/2020/20210118-OYT8T50057/

https://www.youtube.com/watch?v=SazOt0iq8rM
 

別解1

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月10日(土)20時00分20秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=17624

解答
△CADの内対角の和より、∠CAD=40°-20°=20°よって、∠CAD=∠CDAより△CADは二等辺三角形。よって、CD=AC―――①

ここで、BCを1辺とした正三角形EBCを頂点EがBCに関して点A側に作ると、BC=EC また、条件よりBC=AD よって、AD=EC―――②

また、∠ACE=60°-40°=20°,∠CDA=20°より、∠CDA=∠ACE―――③

①,②,③より、二辺挟角が等しいので、△CADと△AECは合同。ところで、△CADは二等辺三角形より△AECも二等辺三角形。

よって、△BECは正三角形で△AECは二等辺三角形より、対称性で∠ABC=∠ABE=60°÷2=30°

よって、∠x=30°

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=DjzxzaPE3bM

https://www.youtube.com/watch?v=LZlLyVrjI3c
 

高校生用の別解と大学生用の別解

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2021年 4月10日(土)17時30分29秒
  問題
https://factdy.click/netafact/?p=17627

別解2 高校生用の別解
tan(x/2)=1/3―――① tan(y/2)=1/2―――②

また、加法定理より、tan(x/2+y/2)={tan(x/2)+tan(y/2)}/{1-tan(x/2)tan(y/2)}=(1/3+1/2)/{1-(1/3)(1/2)}

=(5/6)/(5/6)=1 ところで、0<x/2+y/2<180°より、x/2+y/2=45° ∴x+y=90°

別解3 大学生用の解法
x/2=Arctan(1/3)―――① y/2=Arctan(1/2)―――②

よって、Arctanの加法定理を使うと、x/2+y/2=Arctan(1/3)+Arctan(1/2)=Arctan[(1/3+1/2)/{1-(1/3)(1/2)}]

=Arctan{(5/6)/(5/6)}=Arctan1=45°(0<x/2+y/2<180°より)∴x+y=90°

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=bjw784Hw-aA
 

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