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解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月17日(日)21時08分0秒
  問題
硬貨を5回投げる時、表が2回以上連続して出ない確率を求めよ。(白陵高)

解法1
(ⅰ)表が0回の場合、裏裏裏裏裏の1通り
(ⅱ)表が1回の場合、表裏裏裏裏の入れ換えより5通り
(ⅲ)表が2回の場合、全ての場合の数は5C2=10通りで、そのうち連続しているのは(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)の4通りより10-4=6通り
(ⅳ)表が3回の場合、表裏表裏表の1通りのみ。
(ⅴ)表が4回以上の場合は、必ず2回以上連続するので不適。

よって、計1+5+6+1=13通り また、硬貨を5回投げた時の表裏の全ての場合の数は、2^5=32通りより確率は、13/32

解法2 余事象で求める
見易くするために表を○,裏を×とする。

(ⅰ)2回だけ連続する場合 ○○×××,×○○××,××○○×,×××○○の4通り
(ⅱ)3回連続する場合 ○○○××,×○○○×,××○○○の3通り
(ⅲ)4回連続する場合 ○○○○×,×○○○○の2通り
(ⅳ)5回連続する場合 ○○○○○の1通り

よく考えたらこれだけじゃないですよね。○が3個の場合、○○×○×,○○××○,×○○×○,左右対称のもの、×○×○○,○××○○,○×○○×の6通り
○が4個の場合、○○×○○,○○○×○,○×○○○の3通り

よって、計10+6+3=19通り また、全ての場合の数は、2^5=32通りより、答えは、1-19/32=13/32

私の駄作と違って、余事象を使った模範解答はこちら。https://www.youtube.com/watch?v=Dzt2ufphdaw

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=Uny2xDWAZ7o
 
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月17日(日)14時00分49秒
  問題
硬貨を5回投げる時、表が2回以上連続して出ない確率を求めよ。(白陵高)

一応、余事象でも考えてみて下さい。答えは、13/32

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=2ZdoG3fz41M
 

改訂

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月16日(土)14時17分38秒
  問題
例えば、6=1+2+3,9=2+3+4,10=1+2+3+4など、ある数は連続した3整数以上の和で表せるが、全ての素数は連続した3整数以上の和で表せない事を証明せよ。

解答
「素数ならば連続した3整数以上の和で表せない」の対偶を取ると、「連続した3整数以上の和で表せるならば素数ではない」 よって、これを証明する。

連続する3整数以上の和が、
(ⅰ)奇数個の場合
例えば、2+3+4のように、真ん中の数×個数で表せる。よって、2以上の数×3以上の数となるので合成数で素数とはならない。

(ⅱ)偶数個の場合
例えば、2+3+4+5のように、真ん中の2数の和×個数の半分で表せる。(2+3+4+5=7×2=14)

よって、5以上の数×2以上の数となるので合成数で素数とはならない。

(ⅰ),(ⅱ)より、連続した3整数以上の和で表せるならば素数ではない。よって、示された。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=-ntrZImlnvY
 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月15日(金)18時24分50秒
  問題
例えば、3=1+2,5=2+3 と、連続する整数の和(2個以上の和)で表せるが、4は表せない。連続する整数の和で表せない数の法則を述べよ。

解答
連続する整数の和が、

(ⅰ)奇数個の場合
例えば、2+3+4のように、真ん中の数×個数。個数は奇数個より、整数×奇数となる。

(ⅱ)偶数個の場合
例えば、2+3+4+5のように、中央の2個の和×個数の半分で、中央の2個は連続する2数の和より必ず奇数(偶数+奇数=奇数)となるので、奇数×整数となる。

(ⅰ),(ⅱ)より、連続する整数の和で表せる数ならば整数×奇数となる。この対偶を取ると、整数×奇数でないならば連続する整数の和で表せない数である。

つまり、因数に奇数が入っていなければいい。よって、答えは、2,4,8,16,・・・・,2^n(nは自然数)

今回はアレンジして対偶を使ってみました。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=kGcMClkx3Ic
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月15日(金)07時55分46秒
  問題
例えば、3=1+2,5=2+3 と、連続する整数の和(2個以上の和)で表せるが、4は表せない。連続する整数の和で表せない数の法則を述べよ。

これもオリジナルだと思いますが、よく分かりません。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=dINruuufWg8
 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月14日(木)20時02分8秒
  問題
例えば、6=1+2+3,9=2+3+4,10=1+2+3+4など、ある数は連続した3整数以上の和で表せるが、全ての素数は連続した3整数以上の和で表せない事を証明せよ。

解答
連続した3整数以上の和で表せたとすると、

(ⅰ)奇数個の場合
例えば、2+3+4のように、真ん中の数×個数で表せる。よって、2以上の数×3以上の数となるので合成数で素数とはならない。

(ⅱ)偶数個の場合
例えば、2+3+4+5のように、真ん中の2数の和×個数の半分で表せる。(2+3+4+5=7×2=14)

よって、5以上の数×2以上の数となるので合成数で素数とはならない。

(ⅰ),(ⅱ)より、逆に素数ならば連続した3整数以上の和では表せない。よって、全ての素数は連続した3整数以上の和で表せない。

補足:逆に素数ならば連続した3整数以上の和では表せない

(ⅰ),(ⅱ)より、連続した3整数以上の和で表せるならば、素数ではない。この対偶を取ると、素数ならば連続した3整数以上の和で表せない。

補足は今回私が作ったので、やはりこんな中途半端な模範解答はないと思われるので、私のオリジナル問題だと思われます。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=40dkovr_F9M
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月14日(木)11時53分23秒
  問題
例えば、6=1+2+3,9=2+3+4,10=1+2+3+4など、ある数は連続した3整数以上の和で表せるが、全ての素数は連続した3整数以上の和で表せない事を証明せよ。

文章からオリジナルのような気もしますが、さっぱり覚えてないので分かりません。多分、何かの問題を解いていてその解答の途中で発見したとかいうパターンだと思います。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=ZItcRV_K268
 

解答

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月13日(水)11時57分10秒
  問題
自然数の立方は、その自然数の個数の連続した奇数の和に必ず変換出来る事を証明せよ。

解答
公式https://yama-taku.science/mathematics/numerical-sequence/sum-of-square-and-cube/より、1^3+2^3+3^3+・・・・+n^3={n(n+1)/2}^2

また、m^2=1+3+5+・・・・+(2m-1)https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1349295843

よって、1^3+2^3+3^3+・・・・+n^3=1+3+5+・・・・+{2・n(n+1)/2-1}

∴1^3+2^3+3^3+・・・・+n^3=1+3+5+・・・・+(n^2+n-1)

1^3=1―――(1)
1^3+2^3=1+3+5―――(2)
1^3+2^3+3^3=1+3+5+7+9+11―――(3)
          ・
          ・
          ・
          ・
1^3+2^3+3^3+・・・・+n^3=1+3+5+・・・・+(n^2+n-1)―――(n)
                     n(n+1)/2個

また、(n-1)番目は、

1^3+2^3+3^3+・・・・+(n-1)^3=1+3+5+・・・・+(n^2-n-1)
                        n(n-1)/2個

(n)-(n-1)より、n^3=(n^2-n+1)+・・・・+(n^2+n-1)

右辺の個数は、n(n+1)/2-n(n-1)/2=n個 よって、n^3はn個の連続する奇数の和で表せる。よって、示された。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=F88DEpvS_Dc
 

問題

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月12日(火)20時27分17秒
  問題
7×7×7を連続する奇数の和に変換せよ。例.3×3×3=7+9+11

解答
変だなと思い、2×2×2で試してみると、2×2×2=3+5で出来る。しかも、2×2×2で2個,3×3×3で3個より、4×4×4で4個で出来るかどうか調べると、

4×4×4=64=13+15+17+19で出来る。
引用元:http://9010.teacup.com/1942may/bbs/11743

そこで、問題です。
自然数の立方は、その自然数の個数の連続した奇数の和に必ず変換出来る事を証明せよ。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=zKgz845MzR4
 

怪しい情報見つけました

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年12月12日(火)16時56分28秒
  https://srad.jp/~TarZ/journal/532457/

因みに、こちらの人は自分で変形させて楽しんでいるようです。http://slidesplayer.net/slide/11152709/
 

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