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(無題)

 投稿者:  投稿日:2017年 6月23日(金)00時03分34秒
編集済
  投稿者:壊れた扉   投稿日:2017年 6月22日(木)18時18分21秒
   問題
変数x,yの間に2x+y=1の関係があるものとする。
(1)x^2+y^2の最小値を求めよ。
(2)x≧0,y≧0とするとき、x^2+y^2の最大値を求めよ。

福岡大の問題だそうです。余裕があれば、(1)は3通り(2)は2通り考えてみて下さい。念のため、高校の範囲です。

 座標平面上の点(x,y)が次の方程式を満たす。
      2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0
このとき、xのとりうる最大の値を求めよ。 (2012 東大文系)


   高校 の ハンイの 数學 と 禁欲せず 世界の人々の為す

  method of Lagrange multiplier で お願い致します;

----------------------------
● コルム様&____氏様 専用の
http://www.teacup.com/fbbs/
を作製され そこで議論されたら如何です?

> 特定の方と、共通の話題でお話ししたい!
が叶います。
 
 

Re:答えを書きます。

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 6月22日(木)22時27分50秒
  普通の解法は分かっているようなので、(1)の解法3だけやりますね。

問題
変数x,yの間に2x+y=1の関係があるものとする。
(1)x^2+y^2の最小値を求めよ。
(2)x≧0,y≧0とするとき、x^2+y^2の最大値を求めよ。

(1)解法3 ところで、コーシー・シュワルツの不等式http://examist.jp/mathematics/expression-proof/cauchy-schwarz/より、

(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2 これに、a=2,b=1を代入すると、5(x^2+y^2)≧(2x+y)^2=1

∴x^2+y^2≧1/5 よって、最小値は1/5

これは「チャート式数学Ⅰ」には載っていませんでした。以前にこちらの掲示板で似たようなのを見たと思います。
 

Re:解説お願いできないでしょうか?

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 6月22日(木)22時15分6秒
  >観賞や話の種になる公式や定理

オイラーの等式https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8Fとか、

1+2+3+・・・・・=-1/12https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6とか、

バナッハ=タルスキーのパラドックスhttps://matome.naver.jp/odai/2138432271898812101などでしょうか。

ところで、面白いの見つけました。https://togetter.com/li/749757 見破って下さい。
 

答えを書きます。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 6月22日(木)21時43分12秒
  次の問題をお願いできないでしょうか?教えていただけると幸いです。答えは、(1)1/5(2)1でしょうか?すみません。余裕があればのところは、わかりません。  

解説お願いできないでしょうか?

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 6月22日(木)20時36分32秒
  解説お願いできないでしょうか?大変恐縮ですが。あの、壊れた扉さんは、観賞や話の種になる公式や定理を知っていますか?教えていただけると幸いです。  

Re:次の問題をお願いできないでしょうか?

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 6月22日(木)18時18分21秒
  問題
変数x,yの間に2x+y=1の関係があるものとする。
(1)x^2+y^2の最小値を求めよ。
(2)x≧0,y≧0とするとき、x^2+y^2の最大値を求めよ。

福岡大の問題だそうです。余裕があれば、(1)は3通り(2)は2通り考えてみて下さい。念のため、高校の範囲です。
 

オーベルの定理の証明

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 6月22日(木)07時53分40秒
  オーベルの定理
http://tadahikostar.blog21.fc2.com/blog-entry-1162.html

証明
四角形をABCDとし、正方形をABEF,BCGH,CDIJ,DAKLと置く。また、それぞれの正方形の中心をO1,O2,O3.O4とする。

BK,DFを結ぶと、二辺挟角が等しいので、△ABK≡△AFD(証明は簡単で省略。)

∴BK=FD また、BK⊥FD(△ABK≡△AFDでAB⊥AFだから。)―――①

ここで、BDの中点をMとすると、O1はBFの中点より△BFDでの中点連結定理により、O1M//FD.O1M=(1/2)FD―――②

また、O4はDKの中点より△DBKでの中点連結定理により、MO4//BK,MO4=(1/2)BK―――③

①,②,③より、O1M⊥MO4,O1M=MO4 よって、△MO1O4は直角二等辺三角形。―――④

同様の事を△CBDと正方形BCGHと正方形CDIJで行うと、△MO2O3も直角二等辺三角形となる。―――⑤

ここで、O1O3,O2O4を結ぶと、二辺挟角が等しいので△MO1O3≡△MO2O4(証明は簡単で省略。)∴O1O3=O2O4

また、△MO1O3≡△MO2O4でMO1⊥MO4より、O1O3⊥O2O4 よって、示された。

アイデア参考元:「橋野の“難問図形”問題集」p.201,202より

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=dFf4AgBNR1E
 

奇数の完全数はない

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2017年 6月22日(木)06時35分22秒
  あと、
67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157
163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
が残っていますが、掲載はやめます。プログラムの結果は不要と思われる方が多いでしょう。いずれ、別の形で提示します。
 

読者の反応

 投稿者:iitaka  投稿日:2017年 6月22日(木)06時03分3秒
  この度は,先生の御著書「数学の研究をはじめよう(I), (III)」をお送りくださいましてありがとうございます。
書泉グランデでの講義予定講をお送りいただいたとき,とても興味深く,私が高校生のときに,この御著書に出会っていたら、虜になっていたに違いないとと思いました。
東京の生徒、学生、数学愛好家だけがその恩恵に与るのではなく、この度の出版によって、全国の生徒、学生、数学愛好家にこれらの書物に等しく接する機会が
与えられる、これは,日頃数学に向かい合っている者として、とても素晴しいことで、本当に良かったと思いました。

 クロネッカーは『整数は神の御業、その他はすべて人の作』と詠嘆したとのことですが、本当に整数論は奥深く、素晴しい宇宙だと思います。最近は、頓に、この感を強くしています。

 先生の仰られている「古典数学の復興」に触発されて、若者たちが新しいパラダイムを切り開いていく展開を願っています。

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このような書いていただき
うれしいです
 

反響

 投稿者:iitaka  投稿日:2017年 6月22日(木)06時00分2秒
  読者からの反応
また書きます

 

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