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Re. 円周角と中心角の定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 5月25日(木)12時28分12秒
  少し難しい問題を望んでいます。何かありましたら、教えていただけると幸いです。お願いできないでしょうか?大変恐縮です。ご迷惑をお掛けします。壊れた扉さんのつくった問題なかなか面白そうですね。結構難しそうですね。  
 

「ヒント」の続き

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 5月25日(木)07時53分18秒
  問題
http://task.naganoblog.jp/e1873587.html

こちらの問題を面積を利用しないで求めよという問題ですが、計算は面倒臭い(筆算出来るレベル)ですが、よく考えたら別解として使えるレベルでした。

ヒント:方べきの定理でAE,AFをxで表した後、BD=y,CD=zと置いてこの定理を使ってください。http://www25.tok2.com/home/toretate/pappus.html

最終ヒント:3辺の長さが分かっている直角三角形以外の三角形の内接円の半径を面積を利用しないで求める方法があるかどうか考えてみて下さい。

おまけ:https://www.youtube.com/watch?v=ZuaEiLIAyhY
 

Re:Re.円周角と中心角の定理について。

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 5月24日(水)22時08分39秒
  コルムさんのレベルが分からないので、どういう問題を望んでいるのか分からないのですが、

問題
(1)abc+def=fed+cbaを1つ作れ。例.513+416=614+315

(2)abc×def=fed×cbaを1つ作れ。例.213×624=426×312

などはどうでしょうか。昔作ったオリジナルです。
 

Re.円周角と中心角の定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 5月24日(水)21時26分28秒
  他に作っていただける問題がありましたら、教えていただけると幸いです。お願いできないでしょうか?大変恐縮です。ご迷惑をお掛けします。  

Re:シグマについて。

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 5月24日(水)18時50分33秒
  問題
Σk=1から60sin kを求めよ。

解答
和と積の公式より、cosA-cosB=-2sin{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/wa-seki-no-kousiki.html

これにA=X+1/2,B=X-1/2を代入すると、cos(X+1/2)-cos(X-1/2)=-2sinXsin(1/2)

これにX=1~nまで代入すると、

cos(1+1/2)-cos(1-1/2)=-2sin1sin(1/2)
cos(2+1/2)-cos(2-1/2)=-2sin2sin(1/2)
cos(3+1/2)-cos(3-1/2)=-2sin3sin(1/2)
   ・        ・        ・
   ・        ・        ・
   ・        ・        ・
   ・        ・        ・
cos(n+1/2)-cos(n-1/2)=-2sin(n)sin(1/2)

この全てを加えると、左辺の左上と右下は相殺されて、左辺はcos(n+1/2)-cos(1-1/2)だけが残る。

∴cos(n+1/2)-cos(1-1/2)=-2sin1sin(1/2)-2sin2sin(1/2)-2sin3sin(1/2)-・・・・-2sin(n)sin(1/2)

∴cos(n+1/2)-cos(1/2)=-2sin(1/2)(sin1+sin2+sin3+・・・・+sin(n))

∴sin1+sin2+sin3+・・・・+sin(n)=-{cos(n+1/2)-cos(1/2)}/2sin(1/2)

これにn=60を代入すると、Σ(1~60)sink=-{cos(121/2)-cos(1/2)}/2sin(1/2)
 

Re:円周角の定理と、中心角の定理について。

 投稿者:壊れた扉  投稿日:2017年 5月24日(水)18時08分33秒
  迷惑だなんてとんでもございません。

問題を解くのもいいですが、定理を1つずつ証明しておくのも大事だと思います。例えば、円周角は中心角の1/2の角度である事を証明せよなどです。(これはネットで調べればすぐ出ると思います。)
 

円周角の定理と、中心角の定理について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 5月24日(水)17時01分35秒
  文章題で、何か問題をつくっていただけると幸いです。すみません。迷惑ですね。大変恐縮です。  

Re. シグマについて。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 5月24日(水)16時58分36秒
  また、確かめてみます。  

奇数の完全数はない

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2017年 5月24日(水)16時40分6秒
  これがなんの役に立つのかというと、
(%i1) x:30*n+7;
(%o1)                              30 n + 7
(%i2) factor((x^(2*m+1)-1)/(x-1));
                                  2 m               2 m
                   30 n (30 n + 7)    + 7 (30 n + 7)    - 1
(%o2)              ----------------------------------------
                                 6 (5 n + 1)
この(30n+7)^2mがA n+7^2mの7^2mを6B+1^2mとするときに役に立つ。
7でなく、11,13,17,19,23,29も+1^2mとすることができる。
 

奇数の完全数はない

 投稿者:愛犬ベルのために  投稿日:2017年 5月24日(水)16時01分24秒
  等比級数の和の公式から
                              x^n-1
1+x+x^2+x^3+・・・・+x^(n-1)=---------
                               x-1
より、
  x^n=(x-1)(1+x+x^2+・・・+x^(n-1))+1・・・①
また、
x^n=((x-1)+1)^n
ここで、(ax+b)^n=xA+b^n(2項定理より)であるから、
∵ (ax+b)^n=a^nx^n+・・・・・+b^n=x(a^n x^(x-1)+・・・)+b^n=xA+b^nより
x^n=(1*(x-1)+1)^n=(x-1)A+1^n=(x-1)A+1・・②
たとえば、
5^3=((5-1)+1)^3=(4+1)^3=4^3+3*4^2+3*4^1+1=4A+1
∵A=4^2+3*4+3=31
さて、①、②から
(x-1)(1+x+x^2+・・・+x^(n-1))+1=(x-1)A+1
(x-1)(1+x+x^2+・・・+x^(n-1))=(x-1)A
(1+x+x^2+・・・+x^(n-1))=A
つまり、Aは1が並んだ数でもある。

なお、二項定理では、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86
 

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